Nguyễn Tất Thu  1  BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH  Nguyễn Tất Thu - GV Trường Chuyên Lương Thế Vinh  Bài viết này sẽ trình bày cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉ cần tách phần cần tính để đưa về mô hình của hình chóp.  {   Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng  Tính khoảng cách từ điểm   M      (  ) .  Lời giải.     M      (  )   ta có các cách sau:  1   Cách 1:   Xác định hình chiếu vuông góc   H   của   M   lên   (  )   .    H   ta có một số lưu ý sau:     Chọn   (  )   chứa điểm   M   và   (  )      (  )   , rồi xác định giao tuyến      =   (  )      (  )   . Trong   (  )   dựng   MH            MH      (  ) .     Nếu trong   (  )   có hai điểm   A ,   B   sao cho   M A   =   MB   thì trong   (  )   kẻ đường trung trực   d   của đoạn   AB , rồi trong   mp   ( M ,   d )   dựng   MH      d . Khi đó   MH      (  )   (h.3) Thật vậy, Gọi   I   là trung điểm của   AB . Do   M A   =   MB   nên    M AB   cân tại   M , suy ra   M I      AB      (  ) . Lại có   AB      d      AB      mp   ( M ,   d )      AB      MH . Vậy      MH      AB MH      d     MH      (  ) .     Nếu trong   (  )   có một điểm   A   và một đường thẳng   d   không đi qua   A   sao cho   M A      d   thì trong   (  )   kẻ đường thẳng   d       A   và   d       d , rồi trong  mp   ( M ,   d  )   kẻ   MH      d       MH      (  )   (h. 4) Thật vậy, do   d      d    và   d      M A      d      mp   ( M ,   d  )      d      MH . Lại có   MH      d       MH      mp   ( d ,   d  )      (  ) .     Nếu trong   (  )   có các điểm   A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n   ( n      3)   mà   M A 1   =   M A 2   = · · · =   M A n  hoặc các đường thẳng   M A 1 ,   M A 2 , . . . ,   M A n   tạo với   (  )   các góc bằng nhau thì hình chiếu của   M   trên   (  )   chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác  A 1   A 2      A n .     Nếu   trong   (  )   có   các      A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n   ( n      3)   mà   các   mặt   phẳng  ( M A 1   A 2 )   ,   ( M A 2   A 3 )   , . . . ,   ( M A n   A 1 )   tạo với   (  )   các góc bằng nhau thì hình chiếu của   M   là tâm đường tròn nội tiếp đa giác   A 1   A 2      A n .Nguyễn Tất Thu  2     Nếu tứ diện   O ABC   có   O A ,   OB ,   OC      OH  thì  1  OH 2   =   1  O A 2   +   1  OB 2   +   1  OC 2   .   (  )  2   Cách 2:   Sử dụng công thức thể tích: Xét một hình chóp có M là đỉnh, đáy nằm trong mặt phẳng   (  ) . Khi đó: d ( M ,   (  ))   =   3 V S d  .  3   Cách 3:   Chuyển việc tính khoảng cách từ   M   về tính khoảng cách từ điểm   N   dễ tính hơn bằng cách sử dụng các kết quả sau     Nếu   MN // (  )   thì d ( M ,   (  ))   =   d ( N ,   (  )) .     Nếu   MN      (  )   =   { I }   thì d ( M ,   (  ))   =   M I N I      d ( N ,   (  )) . Khi sử dụng công thức chuyển điểm ta thường tìm cách chuyển về chân đường cao, với chú ý sau  Chú ý 1.  Cho hình chóp   S . A 1   A 2      A n   có đường cao  SH .     Kẻ   A i   E      H A   j . Khi đó d ( A i ,   ( SH A   j ))   =   A i   E .     Kẻ   HF      A i   A   j ,   HK      SF . Khi đó d ( H ,   ( S A i   A   j ))   =   HK   =   HF      HS  p HF 2   +   HS 2   .  E  A 1  H  F  K  S  A 2   A 3  A 4  A n  4   Cách 4:   Gắn hệ trục tọa độ   Ox yz   và sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Ta thường gắn hệ trục khi mô hình trong bài toán có ba cạnh xuất phát từ một   

Bài toán khoảng cách trong không gian – Nguyễn Tất Thu

TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1 Câu 1.   (Chuyên   Biên   Hòa   -   Hà   Nam   -   2020)   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình bình hành. Hai điểm   M   ,   N   lần lượt thuộc các đoạn thẳng   AB   và   AD   (   M   và   N   không trùng với   A   ) sao cho 2   3   8  AB   AD AM   AN        . Kí hiệu   V   ,   1 V   lần lượt là thể tích của các khối chóp   . S ABCD   và . S MBCDN   . Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số   1 V V   .  A.   13 16 .   B.   11 12 .   C.   1 6 .   D.   2 3 .  Câu 2.   (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020)   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình bình hành và có thể tích là   V   . Gọi   P   là trung điểm của   SC   . Mặt phẳng          chứa   AP   và cắt hai cạnh   SD   ,  SB   lần lượt tại   M   và   N   . Gọi   V    là thể tích của khối chóp   . S AMPN   . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số   V V     .  A.   3 8   .   B.   1 3   .   C.   2 3   .   D.   1 8   .  Câu 3.   (Chuyên Hưng Yên - 2020)   Cho hình lăng trụ tam giác   . ABC A B C       có đáy là tam giác vuông tại   A   ,   2 AB      ,   3 AC      . Góc      90 CAA       ,      120 BAA       . Gọi   M   là trung điểm cạnh   BB    ( tham khảo hình vẽ ). Biết   CM   vuông góc với   A B    , tính thể tích khối lăng trụ đã cho.  A.       3 1   33 8  V       .   B.   1   33 8  V       .   C.       3 1   33 4  V       .   D.   1   33 4  V       .  Câu 4.   (Chuyên KHTN - 2020)   Cho khối lăng trụ đứng   .          ABC A B C   có đáy   ABC   là tam giác vuông cân tại   C   ,   2  AB   a   và góc tạo bởi hai mặt phẳng        ABC   và       ABC   bằng   60    . Gọi   , M N   lần lượt là trung điểm của       A C   và   BC   . Mặt phẳng       AMN   chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng  A.  3 7   3 24  a   .   B.  3 6 6  a   .   C.  3 7   6 24  a   .   D.  3 3 3  a   .  Câu 5.   (Chuyên KHTN - 2020)   Cho hình lập phương   .   '   '   '   ' ABCD A B C D   có cạnh bằng   a   . Gọi ,   ,   ,   ,   , M N P Q R S   là tâm các mặt của hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh ,   ,   ,   ,   , M N P Q R S   bằng  A.  3   2 24  a   B.  3 4  a   C.  3 12  a   D.  3 6  a  TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC NĂM 2020  CHƯƠNG 4. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 56 CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAOTỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 6.   (Chuyên Lam Sơn - 2020)   Cho hình hộp chữ nhật   .   '   '   '   ' ABCD A B C D   có   ,   , M   N   P   lần lượt là trung điểm các cạnh   ,   '   ',   ' BC   C D   DD   (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng   144   , thể tích khối tứ diện   AMNP   bằng  A.   15.   B.   24.   C.   20.   D.   18.  Câu 7.   (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020)   Cho khối chóp   . S ABCD   có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi   ,   , M   N   P   và   Q   lần lượt là trọng tâm của các mặt bên   ,   , SAB   SBC   SCD   và   SDA   . Thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm ,   ,   ,   , M   N   P   Q   B   và   D   là  A.   9.   B.   50 . 9   C.   30.   D.   25 3   .  Câu 8.   (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020)   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình vuông cạnh bằng   3,   chiều cao bằng   8   . Gọi   M   là trung điểm   SB   ,   N   là điểm thuộc   SD   sao cho 2 SN   ND          . Thể tích của tứ diện   ACMN   bằng  A.   9 V      .   B.   6 V      .   C.   18 V      .   D.   3 V      .  Câu 9.   (Chuyên Thái Bình - 2020)   Cho hình hộp đứng   .   '   '   '   ' ABCD A B C D   có   '   2 AA      , đáy   ABCD   là hình thoi với   ABC   là tam giác đều cạnh   4   . Gọi   M   ,   N   ,   P   lần lượt là trung điểm của   '   ' B C   , '   ' C D   ,   ' DD   và   Q   thuộc cạnh   BC   sao cho   3 QC   QB    . Tính thể tích tứ diện   MNPQ   .  A.   3   3 .   B.   3   3 2   .   C.   3 4   .   D.   3 2   . Câu 10.   (Chuyên Bắc Ninh - 2020)   Cho hình chóp tam giác đều   . S ABC   có   2 SA      . Gọi   D   ,   E   lần lượt là trung điểm của cạnh   SA   ,   SC   . Thể tích khối chóp   . S ABC   biết   BD   AE    .  A.   4   21 7   .   B.   4   21 3   .   C.   4   21 9   .   D.   4   21 27   .  Câu 11.   (Chuyên Bắc Ninh - 2020)   Cho hình lập phương   . ABCD A B C D          có cạnh bằng   1   . Gọi ,   ,   , M N P Q   lần lượt là tâm các hình vuông   ,   , ABB A   A B C D   ADD A                   và   CDD C       . Tính thể tích  MNPR   với   R   là trung điểm   BQ   .  A.   3 12   .   B.   2 24   .   C.   1 12   .   D.   1 24   .  Câu 12.   (Chuyên Bến Tre - 2020)   Cho hình hộp   . ABCD A B C D          có các cạnh bằng   2 a   . Biết      60 BAD         ,        120 A AB   A AD              . Tính thể tích   V   của khối hộp   . ABCD A B C D          .  A.   3 4   2 a   .   B.   3 2   2 a   .   C.   3 8 a   .   D.   3 2 a   .  Câu 13.   (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020)   Cho hình chóp   . S ABC   , mặt phẳng       SBC   vuông góc với mặt phẳng       ABC   , cạnh   1 SB   SC                0 60 ASB   BSC   CSA          . Gọi   , M   N   lần lượt là các điểm trên các cạnh   , SA SB   sao cho       0 ,   2 SA   xSM   x   SB   SN          . Giá trị của   x   bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện   SCMN   bằng   2 32

Bài tập VD – VDC khối đa diện và thể tích của chúng

 NHÓMWORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020  Trang 410  KI  N TH  C C  N NH  : 1. Kho  ng cách gi  m và m  t ph  ng  Kho  ng cách gi  a m  m và m  t m  t ph  ng là kho  ng cách t     i hình chi  u vuông góc c  a nó lên m  t ph           , d   M   MM         v  i   M      là hình chi  u vuông góc c  a   M   lên m  t ph  ng           .  1.1. Kho  ng cách t     m M b  t kì    n m  t ph  ng           có ch  ng cao c  a hình chóp (l   tr  ...)  Phương pháp:  Bướ c 1: Quy kho  ng cách t     m   M   v     m   A   thu   Bướ c 2: Tìm giao tuy  n c  i mp          Bướ c 3: T    A   d  ng   AH   vuông góc v  i giao tuy  n t  i   H   . Khi đó           ; AH   d   A     *   Công th  c tính t    l    kho  ng cách:                     d   M,mp P   MO = AO d   A,mp P  1.2 . Kho  ng cách t    hình chi  u vuông góc   A   c  nh   S    n mp bên        Phương pháp:  Bướ c 1:   Tìm giao tuy  n c  a           v   Bướ c 2:   T    A   d  ng   AH   vuông góc v  i giao tuy  n t  i   H   .  Bướ c 3:   N  i   SH   , d  ng   AK   vuông góc   SH   t  i   K   . Khi đó           ; AK   d   A      . 1.3.   Kho  ng cách t     m b  t kì    n mp bên.  d P  A  O   H M K  d P  M  O K A H  BÀI TOÁN K HO  NHÓMWORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020  Trang 411  Phương pháp:   Quy kho  ng cách t     n mp bên v    kho  ng cách t     m là hình chi  u c  nh   S   n mp bên.  2. Kho  ng cách gi  a m  ng th  ng và m  t m  t ph  ng song song  Kho  ng cách gi  a m  ng th  ng và m  t m  t ph  ng song song là kho  ng cách t    m  m b  t kì trên   ng th  ng này t  i m  t ph  ng kia.  3. Kho  ng cách gi  a hai m  t ph  ng song song  Kho  ng cách gi  a hai m  t ph  ng song song là kho  ng cách t    m  m b  t kì trên m  t ph  ng này t  i m  t ph  ng kia.  4. Kho  ng th  ng chéo nhau 4.1. Kho  ng th  ng chéo nhau là      dài    n vuông góc chung c  ng th   , ,  a   b a   A   b   B                        , d   a b   AB      4.2. Cách tính kho  ng cách gi  ng th  ng chéo nhau   Cách 1: Kho  ng cách gi  ng th  ng chéo nhau b  ng kho  ng cách gi  a m  ng th   m  t ph  ng song song v  i nó, ch  ng th  ng còn l  i.                ,   , d   a b   d   a      .V  i           / /  b a            .     Cách 2: Kho  ng cách gi  ng th  ng chéo nhau b  ng kho  ng cách gi  a hai m  t ph  ng song song l  t ch  ng th                    ,   , d   a b   d         . V  i                    / /  a b                   .

Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

C huyên    : Kho  ng cách và th    tích kh  i    a di  n   a ch  : S    20, T    2A, Ph  ng Hoàng V  n Th  , TPTN   Gmail: ppk43a@gmail.com   Trang 1   LỚP 8-9-10 A.   MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC là 2 cạnh góc vuông, AB=c, AC=b. Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’. Trung tuyến AM.  1.      2   2   2  BC   AB   AC      2.   2   2 .   '. ,   .   '. AB   BH BC   c   a   AC   CH BC   b   a            3.   .   . AB AC   AH BC  4.   2   2   2  1   1   1  AH   AB   AC       5.   BC=2AM  6.   sin   , cos   , tan   , cot  AC   AB   AC   AB  B   B   B   B BC   BC   AB   AC             7.   .sin   ,   .sin   , sin   cos b   a   B c   a   C   B   C         B.   MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 1.      2  sin   sin   sin  a   b   c   R A   B   C          2.      2   2   2   2   . cos a   b   c   bc   A         C.   CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1.   Tam giác thường:   1   1 .   .sin   .   (   )(   )(   ), 2   2   4   2  abc   a   b   c  S   a h   ab   C   p r   p p   a   p   b   p   c   p R                                 2.   Tam giác vuông tại A:   1   . 2  S   AB AC    , tam giác đều cạnh a:  2   3 4  a S     8.   Tứ giác thường ABCD:   1   .   .sin(   ,   ) 2  S   AC BD   AC BD    9.   Hình tròn:   2  . S   R     3.   Hình vuông ABCD: S= AB.AD  4.   Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD  5.   Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2  6.   Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h là chiều cao hình thang.  7.   Hình bình hành: Đáy x chiều caoC huyên    : Kho  ng cách và th    tích kh  i    a di  n   a ch  : S    20, T    2A, Ph  ng Hoàng V  n Th  , TPTN   Gmail: ppk43a@gmail.com   Trang 2  D.   CHÚ Ý 1.     2.   Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác.  LỚP 11: A.   QUAN HỆ SONG SONG 1.      / /(   )   (   ) a   P   a   P         a.  (   ) / /   / /(   ) (   )  d   P d   a   d   P a   P           ,   b.  / /(   ) (   )   / / (   )   (   )  a   P a   Q   d   a P   Q   d                ,   c.  (   )   (   ) / /(   )   / / / /(   )  P   Q   d a   P   a   d a   Q             2.   Hai mặt phẳng song song:   (   ) / /(   )   (   )   (   ) P   Q   P   Q         a.  ,   (   ) (   ) / /(   ) / /(   ),   / /(   )  a b   P a   b   I   Q   P a   Q   b   Q                ,   b.   (   ) / /(   )   / /(   ) (   )  P   Q   a   Q a   P          ,   c.  (   ) / /(   ) (   )   (   )   / / (   )   (   )  P   Q R   P   a   a   b R   Q   b                   B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1.      (   )   ,   (   ) a   P   a   c   c   P               a.  ,   (   ) (   ) ,  a b   P a   b   I   d   P d   a d   b                       , b.   (   )   ' (   )  d   P   d   a   d   a a   P                    , (ĐL 3 đường vuông góc-   d’   là hình chiếu của   d   trên   (P) ). 2.   Hai mặt phẳng vuông góc:   (   )   (   )   (   ,   )   90 P   Q   P Q            a.   (   )   (   )   (   ) (   )  a   P   P   Q a   Q               ,   b.  (   )   (   ) (   )   (   )   (   ) (   ),  P   Q P   Q   d   a   Q a   P   a   d                       , c.  (   )   (   ) (   )   (   ) (   )  P   Q A   P   a   P A   a a   Q                    ,   d.   (   )   (   )   (   ) (   ), (   )   (   )  P   Q   a   a   R P   Q   R               

Chuyên đề khoảng cách và thể tích khối đa diện – Hoàng Văn Phiên

B Y   P H Ạ M H O À N G L O N G  Năm học 2021 - 2022  KHỐI KHỐI     CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ  L uy     n   thi    i   họ c !  TÀI LIỆU CỦA ...........................................................  K N OW LE DGE I S P OW E R K N OW LE DGE I S P OW E R1. KHỐI ĐA DIỆN 2. HÌNH CHÓP 3. HÌNH LĂNG TRỤ 4. TỈ LỆ 5. ỨNG DỤNG  0902.408.106  fb/phamhoanglong1809  phamhoanglong1809@gmail.com  TT BD-VH   Trí Việt   (Đối diện KTX chuyên LTV)  66, Đặng Đức Thuật, p.Tam Hiệp, Biên Hòa, ĐN  TOÁN TOÁN TOÁN   9 10 11 12  LUYỆN THI LUYỆN THI  BIÊN BIÊN BIÊN  HÒA HÒA HÒA  MỤC LỤC   1 11 81 111 132  Liên hệ Liên hệ      HỌC HỌC HỌC  CHÚC   EM   HỌC   TẠ    P   TÔ    T !  Toán thầy Long - Biên Hòa

Chuyên đề khối đa diện và thể tích của chúng – Phạm Hoàng Long

CHUYÊN Đ    TH       GÓC      KHO   GV: Đ    1  Chuyên đ    Th       V        Th   A.Ki   I. H     1.   2   2   2  1   1   1  AH   AB   AC       2.   2   . AB   BH BC   3.   2   . AC   HC BC   4.   1   1  .   .  2   2  ABC S   AH BC   AB AC         II. Các công th    tam   giác thư   1.Đ    2   2   2   2   .   cos BC   AB   AC   AB AC   BAC         2. Công th           2   2   2  2   2  4  AB   AC   BC  AM          3. Công th     .......  1  .  1  .   .   .si  .   ...........  n  2   2  .   .  4  ABC S   AH BC   AB AC   BAC  AB BC CA  pr   R               4. Công th   * Th  h kh   1   .  3  V   h      (   .     là di       *Th      :  . V   h      (   .     là di       5. Gó c gi        :  -   Góc gi        : là góc gi            nó lên m   -   Góc gi    : là góc  gi       m     c v   giao tuy        CHUYÊN Đ    TH       GÓC      KHO   GV: Đ    2  B. Các phương pháp tính th   I. Tính th    b            :  M           1. Kh         bên đó chính là đư   kh   2. Hình chóp có m              3 .   Hình chóp có 2 m     hì      c       4.   Hình chóp có các c       góc b              5.   Hình chóp có các m    t           cao trùng v          6. Hình chóp S.ABCD có SA=SB , ho       chân đư          B  7. Hình chóp S.ABCD có hai m       nhau, thì chân              góc    BAC  Bài t   1.   Hình chóp khi bi       1 .1.1   Cho hình chóp S.ABCD có       SA vuông góc v        o  45   . G   là trung đi     chóp S.BDE theo a.  1.1.2.   Cho hình chóp S.ABCD có           AB. Hình chi               gi      o . Tính theo a th  h c   1.1.3.   Cho hình chóp S.ABC có       SC   2a   5    .  Hình chi       gi      o . Tính th  heo a.  2.   Hình chóp có m      1. 2.1.   Cho hình chóp S.ABC có      ph    2a   3   và      o  SBC   30    .   Tính th   tích kh   (Trích đ           2011)  Gi   + H                    SH   BC H   BC ; SBC   ABC             SH   ABC       . V       kh 

Chuyên đề Thể tích – Góc – Khoảng cách trong không gian – Đỗ Bá Thành

CHUYÊN ĐỀ:  KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG  Tác giả: Trần Mạnh Tường  Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020  I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng  Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới  hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó.          , d   M   P   MH    (với   H   là hình chiếu vuông góc của   M   lên mặt phẳng           ).  2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song  Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách  từ một điểm bất kì trên đường thẳng này tới mặt phẳng kia.  Nếu   / /(   ) P    thì                 ,   ;(   ) d   P   d   M   P       với   M      3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì  trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.  Nếu         / /(   ) P   Q   thì                          ,   ;(   )   ;(   ) d   P   Q   d   M   Q   d   N   P       với            ,   N M   P   Q            4. Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  a. Dùng định nghĩa  b. Phương pháp đổi điểm (dùng tỉ số khoảng cách)  * Kiến thức cần nhớ:  - Nếu đường thẳng   AB   song song với mặt phẳng       P   thì                     ;   ; d A P   d B P   -   Nếu đường thẳng   AB   cắt mặt phẳng       P   tại   I   thì                     ;  ;  d   A   P   AI  BI d   B   P     Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này, ta nên cố gắng đưa việc tính  khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng về việc   tính khoảng cách từ chân       P  M  H  P  K  H  M  N  Q  P  N  M  K  H  P  H   K  A   B  P  B  I   H  A  Kc. Phương pháp thể tích  *             3  ;   V  d   M   P   S     với   V   là thể tích của khối chóp có đỉnh là   M   ,   S   là diện  tích của đáy nằm trên mặt phẳng       P   của khối chóp đó  *           ;   V  d   M   P   S     với   V   là thể tích của khối lăng trụ có đỉnh là   M   ,   S   là  diện tích của đáy nằm trên mặt phẳng       P   của khối lăng trụ đó  d. Một công thức thường dùng trong bài toán tính khoảng cách  Nếu       SI   IAB    thì                      2   2  .   ;  ;   ;  SI d   I AB  d   I   SAB   SI   d   I AB       II. BÀI TẬP VẬN DỤNG  1.   Ví dụ minh họa  Câu 1.   (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa)   Cho h  nh  lăng tr    tam gi  c đ  u   . ABC A B C          c    2   3 AB      v    2 AA       . G  i   M   ,   N   ,   P   l  n lư  t l    trung    m c  c c  nh   A B       ,   A C       v    BC   . Kho  ng c  ch t    A     n       MNP   b  ng  A.   17  65   .   B.   6 13  65   .   C.   13  65   .   D .   12  5   .  Lời giải  Ch  n D  - G  i   D   l    trung đi  m c  a   B C       MN   A D  MN   DP                    MN   A DPA                 MNP   A DPA       - G  i   E   MN   A D        EP    l    giao tuy  n c  a       MNP   v        A DPA    .  - D  ng       AH   EP   AH   MNP                  ; AH   d   A   MNP       .  -   G  i   F   l    trung     m   c  a   AP   EF   AP       v    2 EF   A A        ,  3  2   2  AP  FP        2   2   5  2  EP   EF   FP             . EF AP  AH   EP        2.3   12  5   5  2        .  V  y             12  ;   5  d   A   MNP      .  B   C  M  A  D  H  A   D  B  C  M  H  P  S  I  A  B  K  H  F  E  D  P  N  M  B  C  A'   C'  B'  A  H

Chuyên đề khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Trần Mạnh Tường

Chuyên đ   T    S    TH    TÍCH    C GIA  NGUY  N CÔNG Đ  NH  Giáo viên   THTP Đ  m DơiNGUY  N CÔNG Đ  NH  GIÁO VIÊN   TRƯ  NG THPT Đ  M DƠI  CHINH PH  C ĐI  M 8      9      10   KÌ THI   THPT QU  C GIA  N.C.Đ  T    S    TH    TÍCH   1  CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  V  N D  NG      V  N D  NG CAO D  T    '   '   '   '   '   ' .   .   . A B C ABC  V   SA   SB   SC V   SA   SB   SC     t ;   ;   ;   . '   '   '   '  SA   SB   SC   SD a   b   c   d SA   SB   SC   SD             Khi đó   : '   '   '   '  1.   . 2.   . 4  A B C D ABCD  a   c   b   d V   a   b   c   d V   abcd                  Gi    s  '   '   ' ;   ; '   '   '  A M   B N   C P x   y   z A A   B B   C C          Khi đó   : '   '   '. '   '   '.  . 3  A B C   MNP A B C   ABC  V   x   y   z V        Bài toán 1:   T    s    th    tích hình chóp tam giác.  Bài toán 2:   T    s    th    tích hình chóp t    giác có đáy là hình bình hành.  Bài toán 3:   T    s    th    tích hình chóp lăng tr    tam giác.

Bài toán VD – VDC tỉ số thể tích – Nguyễn Công Định

1  TRAÉC NGHIEÄM 12 TUYEÅN CHOÏN 2020 - 2021  HUỲNH ĐỨC KHÁNH (chủ biên)  Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH - 0975 120 189 https://www.facebook.com/duckhanh0205  Khi mua có sẵn   file word đề riêng; file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy  Ngoài ra còn có  TRAÉC NGHIEÄM 11 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021   (bản mới nhất)  TRAÉC NGHIEÄM 10 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021   (bản mới nhất)  CHUÛ ÑEÀ 5.   KHOÁI ÑA DIEÄN  I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP  Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt.  KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN2  II - KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm về hình đa diện  Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:     Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một      Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.  2. Khái niệm về khối đa diện  Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.  Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài... của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài... của hình đa diện tương ứng.  Ví dụ  - Các hình dưới đây là những khối đa diện:  - Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:  Hình a   Hình b   Hình c Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong

Khối đa diện và thể tích của chúng – Huỳnh Đức Khánh

NHÓM   TOÁN   VD  VDC  NĂM H   C   2019      2020  https:/www.facebook.com/groups/toanvd.    Trang 1  NHÓM TOÁN VD – VDC   NHÓM TOÁN VD – VDC  THỂ TÍCH TRONG PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN  Trong các bài toán thể tích khối đa diện diện , một số bài toán vận dụng hoặc vận dụng cao thường    .  Thầy cô cần tạo tình huống cho học trò có tư duy về việc so sánh thể tích các khối chóp , khối lăng  trụ từ những tư duy đơn giản như so sánh đường cao , so sánh diện tích đáy để đi đến quyết định  chuyển những   khối đa diện khó tính thể tích thành những khối dễ hơn , dễ so sánh với khối ban    hoặc lăng trụ bằng cách phân chia thể tích với yêu cầu học sinh quan sát tốt để phân chia khối đa  diện thành những khối dễ tính hơn với giả thiết được cho , từ đó hình thành các kĩ năng tổng hợp và  có phản xạ tốt trong những bài phân chia đa diện .  Trong phần thể tích khối đa diện việc ra đề và ôn tập cho học sinh thường được chú trọng đến các  bài toán về phân chia khối đa diện thành các phần khác nhau. Việc phân chia và tính toán khối đa  diện thường dựa vào tỷ số thể tích, dựa vào việc dựng thiết diện, dựa vào việc lấy thêm điểm thỏa  mãn các hệ thức tỷ số hoặc vecto...  A. CÁC CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ÁP DỤNG  Bài toán 1.   Cho hình chóp   . S ABC   . Một mặt phẳng       P   cắt các cạnh   ,   , SA SB   SC   lần lượt tại  ,   , M N P   như hình vẽ bên.  Khi đó ta có các kết quả sau:   .  .  .   . S MNP  S ABC  V   SM   SN   SP  V   SA   SB   SC    Bài toán 2.   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy là hình bình hành, một mặt phẳng       P   cắt các cạnh  ,   ,   , SA SB   SC   SD   lần lượt tại   ,   ,   , M   N   P Q   như hình vẽ bên.  D  A  B   C  S  M  N  Q  PNHÓM   TOÁN   VD  VDC  NĂM H   C   2019      2020  https:/www.facebook.com/groups/toanvd.    Trang 2  NHÓM TOÁN VD – VDC   NHÓM TOÁN VD – VDC     ,   ,   ,  SA   SB   SC   SD  x   y   z   t  SM   SN   SP   SQ              . Khi đó ta có các kết quả sau:  +   x   z   y   t         +   .  .   4  S MNPQ  S ABCD  V   x   y   z   t  V   xyzt            Bài toán 3.   Cho hình lăng trụ   .   '   '   ' ABC A B C   . Một mặt phẳng       P   cắt các cạnh bên  ',   ',   ' AA   BB   CC   lần lượt tại   ,   , M N P   như hình vẽ bên.     ,   ,  A M   B N   C P  x   y   z  AA   BB   CC                          Khi đó ta có   .   '   '   '  .   '   '   '   3  MNP A B C  ABC A B C  V   x   y   z  V         Bài toán 4.   Cho hình lăng trụ   .   '   '   'D' ABCD A B C   . Một mặt phẳng       P   cắt các cạnh bên  ',   ',   ', DD' AA   BB   CC   lần lượt tại   ,   ,   , M   N P Q   như hình vẽ bên.     ,   ,   ,   DD  AM   BN   CP   DQ  x   y   z   t  AA   BB   CC                         .  Khi đó ta có  +   . x   z   y   t         +  .   '   '   '   '   4   2   2  ABCDMNQP  ABCD A B C D  V   x   y   z   t   x   z   y   t  V                        B. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA  Bài toán 1. CHIA HÌNH CHÓP, HÌNH LĂNG TRỤ THÀNH 2 PHẦN BỞI MỘT MẶT PHẲNG  CHO TRƯỚC. TÍNH THỂ TÍCH MỘT TRONG HAI PHẦN HAY TỈ SỐ THỂ TÍCH

Thể tích trong phân chia khối đa diện

TRƯ  NG THPT ĐĂK GLONG         HH - 12 - C1  FB: ThayTrongDGl   -   b iên so  n và sưu t  m   -   Chúc các em h  c t  t và thành công !   1  M      M KH  I ĐA DI  N  ................................ ................................ ................................ ................  1  A -   LÝ THUY  T C  N N  M:   ................................ ................................ ................................ ...................  2     D  NG 1_ NH  N   DI  N     N.  ................................ ................................ ................................ ......  2     D  NG 2_XÁC Đ  NH S      NH, C  NH, M  T BÊN C  A M  T KH  I ĐA DI  N.  ........................  5     D  NG 3_   M  T PH  NG Đ  I X  NG.  ................................ ................................ ................................  8     D  NG 4_ PHÂN CHIA L  P GHÉP KH  I ĐA DI  N .   ................................ ................................ .......  9   2_KH  I ĐA DI  N L  I   -   KH  I ĐA DI  N Đ  U   ................................ ................................ ....................  12     D  NG 1_NH  N D  NG KH  I ĐA DI  N L  I.   ................................ ................................ ...............  12     D  NG 2_NH  N D  NG KH  I ĐA DI  N Đ  U. ................................ ................................ ..............  14     D  NG 3_M  I LIÊN H    GI  A S    C  NH, S    M  T VÀ S      NH C  A ĐA DI  N Đ  U. .........  16  B  NG ĐÁP ÁN   ................................ ................................ ................................ ................................ ......  19      TÍCH   KH  I CHÓP CÓ C  NH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY   ................................ ........................  20     D  NG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.   ................................ ................................ .....................  20     D  NG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG, CH    NH  T, THOI,   THANG.   .............................  24      TÍCH KH  I CH   T BÊN VUÔNG   GÓC ĐÁY  ................................ ...........................  33     D  NG 1_ CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.   ................................ ................................ .....................  33     D  NG 2_ CHÓP CÓ ĐÁY LÀ T    GIÁC.  ................................ ................................ .........................  36  B  NG ĐÁP ÁN   ................................ ................................ ................................ ................................ ......  39      TÍCH KH  I CHÓP Đ  U   ................................ ................................ ................................ .............  40     D  NG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC Đ  U.   ................................ ................................ ............  40     D  NG 2_ CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG. ................................ ................................ ................  43      TÍCH KH  I LĂNG TR      NG   ................................ ................................ ................................  47     D  NG 1_ L       NG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.   ................................ ...............................  47     D  NG 2_ LĂNG TR    CÓ ĐÁY LÀ T    GIÁC.   ................................ ................................ ...............  50      S    TH    TÍCH  ................................ ................................ ................................ ................................ .  54     LÝ THUY  T C  N N  M .  ................................ ................................ ................................ ..................  54     D  NG   1 _T    S    CƠ B  N C  A KH  I   CHÓP TAM GIÁC.   ................................ ...........................  54TRƯ  NG THPT ĐĂK GLONG         HH - 12 - C1  FB: ThayTrongDGl   -   b iên so  n và sưu t  m   -   Chúc các em h  c t  t và thành công !   2   KHÁI NI  M KH  I ĐA DI  N  A -   LÝ THUY  T   C  N N  M:       nh nghĩ a.   (Hình đa di  n là hình g  m h  u h  n các đa giác ph  ng th  a mãn hai tính ch  t:  -   Hai đa giác phân bi  t ch    có th    ho  c không có đi  m chung, ho  c ch    có m  t đ  nh  chung, ho  c ch    có m  t c  nh chung .  -   M  i c  nh c  a đa giác nào cũng là c  nh chung c  a đúng hai đ a giác ) .     Các k  t qu    thu đư  c.   K  t qu    1 :   M  t kh  i     n b  t kì có ít nh  t 4 m  t .   K  t qu    2: M  i hình đa di  n có ít nh  t 4 đ  nh .   K  t qu    3:   Cho (   ) H   là đa di  n mà các m  t c  a nó là nh  ng đa giác có p c  nh.   N  u   s   m  t c  a (   ) H   là l    thì p ph  i là s    ch  n .   K  t qu    4:   Cho (   ) H   là đa di  n có m m  t, mà các m  t c  a nó là nh  ng đa giác có p  c  nh. Khi đó s    c  nh c  a (   ) H   là 2  pm c   =   .   K  t qu    5:   M  i kh  i     n   có các m  t là các tam giác thì t  ng s    các m  t c  a nó ph  i  là m  t s    ch  n .   K  t qu    6:   M  i kh  i đa di  n b  t kì luôn có th      c phân chia đư  c thành nh  ng kh  i  t    di  n .   K  t qu    7:   M  i đ  nh c  a m  t hình đa di  n là đ  nh chung c  a ít nh  t 3 c  nh .   K  t qu    8:   N  u kh  i đa di  n có m  i đ  nh là đ  nh chung c  a ba c  nh thì s      nh ph  i   là  s    ch  n .   K  t qu    9:   M  i hình đa di  n có ít nh  t 6 c  nh .   K  t qu    1 0:   Không t  n t  i hình đa di  n có 7 c  nh .   K  t qu    1 1:   V  i m  i s    nguyên 3 k      luôn   t  n t  i hình đa di  n có 2k c  nh .   K  t qu    1 2:   V  i m  i s    nguyên 4 k      luôn t  n t  i hình đa di  n có 2   1 k   +   c  nh .   K  t qu    1 3:   Không t  n t  i m  t hình đa di  n có  +   S    m  t l  n hơn ho  c b  ng s    c  nh .  +   S      nh l  n hơn ho  c b  ng s    c  nh .   K  t qu    1 4:   T  n t  i kh  i đa di  n có 2n m  t là   nh  ng tam giác đ  u .     D  NG 1_NH  N DI  N ĐA DI  N .  PHƯƠNG PHÁP  D  a và đ  nh nghĩa và các k  t qu   A _ VÍ D    MINH H  A:  Ví d    1.   Trong các hình dư  i đây, hình nào   là hình đa di  n?  A.   Hình 4 .   B.   Hình 2 .   C.   Hình 1 .   D.   Hình 3 .  L  i   gi  i

Chuyên đề khối đa diện và thể tích của chúng – Nguyễn Trọng

Tài liệu giảng dạy, học tập hiệu quả cao –   FB Duong Hung  St-bs:   Duong Hung –   Zalo: 0774.860.155 –   Word xinh 2021   1  FB: Duong Hung   A   -   Bài tập minh họa:  Câu 1:   Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa diện?     Hình 4.      Hình 2.      Hình 1.      Hình 3.  Full Chuyên    2020-2021   CHƯƠNG    :   KH  I ĐA DI  N  Bài   1 :   KHÁI NI  M KH  I ĐA DI  N   .   Lý thuyết cần nắm:   .Kết quả 1 : Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt .   .Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.   .Kết quả 3:   Cho   là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt  của   là lẻ thì p phải là số chẵn.   .Kết quả 4:   Cho   là đa diện có m mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi     là   .   .Kết quả 5:   Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là  một số chẵn.   .Kết quả 6:   Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ  diện.   .Kết quả 7:   Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.   .Kết quả 8:   Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số  chẵn.   .Kết quả 9:   Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.   .Kết quả 10:   Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.   .Kết quả 11:   Với mỗi số nguyên   luôn tồn tại hình đa diện có 2k cạnh.   .Kết quả 12:   Với mỗi số nguyên   luôn tồn tại hình đa diện có   cạnh.   .Kết quả 13:   Không tồn tại một hình đa diện có  + Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.  + Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.   .Kết quả 14:   Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.     Dạng    : Nhận diện đa diện lồi.Tài liệu giảng dạy, học tập hiệu quả cao –   FB Duong Hung  St-bs:   Duong Hung –   Zalo: 0774.860.155 –   Word xinh 2021   2  Lời   giải.   Chọn D   Hình 4 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung  của 4 đa giác, loại A   Hình 2 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của  3 đa giác, loại B   Hình 1 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của  4 đa giác, loại C   Hình 3 là hình đa diện vì nó thỏa mãn khái niệm hình đa diện.  (Hình đa diện là hình gồm hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai  tính chất:  Bài học kinh nghiệm     Quan sát kỹ sử dụng các  kết quả chính xác để     Hai đa giác phân biệt chỉ  có thể hoặc không có điểm  chung, hoặc chỉ có một đỉnh  chung, hoặc chỉ có một cạnh  chung.     Mỗi cạnh của đa giác nào  cũng là cạnh chung của   ).  Câu 2:   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?     Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh bằng số mặt .     Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp đôi số mặt.     Số đỉnh của một hình đa diện bất kì luôn lớn hơn hoặc bằng 4.     Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số mặt.  Lời   giải.   Chọn D                    Sai.  Bài học kinh nghiệm     Quan sát kỹ sử dụng các  kết quả chính xác để  Câu 3:   Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng     năm mặt.      ba mặt.      bốn mặt.      hai mặt.  Lời   giải.     Chọn D   Trong một đa diện, mỗi cạnh nào cũng là cạnh chung của đúng hai  mặt.  Bài học kinh nghiệm     Quan sát kỹ sử dụng các  kết quả chính xác để

Chuyên đề thể tích khối đa diện dành cho học sinh trung bình – yếu – Dương Minh Hùng

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.   (Sở Vĩnh Phúc - 2021)   Hình lăng trụ tam giác có tất cả bao nhiêu cạnh?  A.   12   .   B.   10   .   C.   6   .   D.   9   .  Câu 2.   (Sở Vĩnh Phúc - 2021)   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình vuông cạnh   a   ,   SA  vuông góc với mặt phẳng       ABCD   ,   3 SA   a    . Tính thể tích khối chóp   . S ABCD  A.   3 3 a   .   B.  3 9  a   .   C.  3 3  a   .   D.   3  a   .  Câu 3.   (Sở Lào Cai - 2021)   Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh   a   và chiều cao bằng   4 a   . Thể tích khối chóp đã cho bằng  A.   3 4 3   a   .   B.   3 16 a   .   C.   3 4 a   .   D.   3 16 3   a   .  Câu 20 :   Một khối lăng trụ có diện tích đáy   3   và có thể tích bằng   6   thì chiều cao bằng :  A.   2   .   B.   3   .   C.   4   .   D.   6   .  Câu 4.   (Sở Hà Tĩnh - 2021)   Cho khối chóp có diện tích đáy   3 B      và thể tích bằng   6   . Chiều cao của khối chóp bằng  A.   6.   B.   2.   C.   3.   D.   12.  Câu 5.   (Sở Hà Tĩnh - 2021)   Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước   2; 4;6   . Thể tích của khối hộp đã cho bằng  A.   8   .   B.   16   .   C.   48   .   D.   12   .  Câu 6.   (Sở Yên Bái - 2021)   Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh   a   và chiều cao bằng   3 a   . Thể tích   V   của khối chóp bằng  A.  3 2  a V      .   B.   3  V   a    .   C.  3 3 4  a V      .   D.  3 4  a V      .  Câu 7.   (Sở Tuyên Quang - 2021)   Hình chóp   . S ABC   có chiều cao    h   a   , diện tích tam giác   ABC   là 2 3 a   . Tính thể tích khối chóp   .   . S ABC  A.  3 2  a   .   B.   3  a   .   C.   3 3 a   .   D.   3 3 2   a   .  Câu 8.   (Sở Tuyên Quang - 2021)   Chiều cao của khối lăng trụ có thể tích bằng   12 V      , diện tích đáy 4 B      là  A.   8   .   B.   9   .   C.   1   .   D.   3   .  Câu 9.   (Sở Tuyên Quang - 2021)   Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt   ,   , a b c   là  A.   3  V   a bc    .   B.   1 3  V   abc    .   C.   V   abc    .   D.   1 2  V   abc    .  Câu 10.   (Liên   trường   Quỳnh   Lưu   -   Hoàng   Mai   -   Nghệ   An   -   2021)   Cho   hình   lăng   trụ    . ABC A B C          có cạnh đáy bằng   a   và cạnh bên bằng   2a   . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là  A.  3   3 4  a   .   B.  3   3 6  a   .   C.  3   3 3  a   .   D.  3   3 2  a   .  Câu 11.   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021)   Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là   a   ,   2 a   và   3 a   . Thể tích của khối hộp chữ nhật đó bằng  A.   3  a   .   B.   3 3 a   .   C.   3 2 a   .   D.   3 6 a   .  KHỐI ĐA DIỆN - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chủ đề 5NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 12.   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021)   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy  ABCD   là hình vuông cạnh   a   ,   3   2 SA   a    và   SA   vuông góc với       ABCD   . Thể tích của khối chóp   . S ABCD   bằng  A.  3   2 2  a   .   B.   3   2 a   .   C.   3 3   2 a   .   D.  3 4   3 3  a   .  Câu 13.   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021)   Mặt phẳng       AB C       chia khối lăng trụ . ABC A B C       thành các khối đa diện nào?  A.   Hai khối chóp tam giác.  B.   Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.  C.   Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.  D.   Hai khối chóp tứ giác.  Câu 14.   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021)   Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?  A.   Hình lăng trụ.   B.   Hình lập phương.   C.   Hình vuông.   D.   Hình chóp.  Câu 15.   (Chuyên KHTN - 2021)   Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng   2 a   , cạnh bên bằng   a   . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng  A.  3   3 . 2  a   B.  3   3 . 3  a   C.  3   3 . 12  a   D.   3   3. a  Câu 16.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Cho hình chóp   . S ABC   có tam giác   ABC   vuông tại   A   .   2 ;   ;   3 ;   (   ) AB   a AC   a SA   a SA   ABC             . Thể tích của hình chóp là  A.   3 3 V   a    .   B.   3 6 V   a    .   C.   3 2 V   a    .   D.   3  V   a    .  Câu 17.   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021)   Tính thể tích   V   của khối chóp có chiều cao bằng   5cm   và diện tích đáy bằng   2 12 cm .  A.   3 60 cm V      .   B.   3 20 cm V      .   C.   3 30 cm V      .   D.   3 40 cm V      .  Câu 18.   (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021)   Có bao nhiêu khối đa diện đều?  A.   5.   B.   4   C.   6   D.   3  Câu 19.   (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021)   Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh   a,  chiều cao bằng   2 a   . Tính thể tích hình hộp chữ nhật.  A.   3 2 a   .   B.   3 6 a   .   C.  3 2 3  a   .   D.   2 2 a   .  Câu 20.   (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021)   Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là   8   ,chiều cao là   6   . Tính thể tích khối lăng trụ  A.   16   .   B.   36   .   C.   48   .   D.   24   .  Câu 21.   (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021)   Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng   a   . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng  A.  3   2 3  a   .   B.  3   3 4  a   .   C.  2   3 4  a   .   D.   3  a   .

Tổng ôn tập TN THPT 2021 môn Toán: Khối đa diện và thể tích của chúng

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN     Thể tích khối chóp          chãp    ̧ y 1   . chiÒu cao . 3  V   S     Thể tích khối lăng trụ       l ̈ng trô    ̧ y   . chiÒu cao . V   S  Thể tích khối lập phương   3  V   a    với   a   là cạnh.  Thể tích khối hộp chữ nhật   V   abc    với   ,   , a   b   c   lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao.     Xác định diện tích đáy:  1   1   sin   (   )(   )(   ) , 2 ABC   a S   ah   ab   C   p p   a   p   b   b   c a                       với   2  a   b   c p                      tam gi ̧c vu«ng 1   (tÝch hai c¹nh gãc vu«ng) 2  S          2 tam gi ̧c ®Òu (c¹nh)   3 4  S        2 tam gi ̧c vu«ng c©n (c¹nh huyÒn) 4  S              H×nh thang (® ̧y lín      chiÒu cao 2  S         H×nh ch÷ nhËt   dμi   réng . S       2 H×nh vu«n   (c¹nh) . g S     Xác định chiều cao:     Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy : Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.     Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy:   Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .     Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau:   Chân đường cao của hình chóp là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Cần nhớ:   Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là tam giác Cho khối chóp   .   , S ABC   trên các đoạn thẳng   ,   , SA   SB   SC   lần lượt lấy các điểm   ,   , A   B   C          khác   . S   Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích:  . .  S A B C S ABC V   SA   SB   SC V   SA   SB   SC                             Chỉ có tỉ số thể tích khối chóp đáy tam giác, không có tỉ số khối chóp  chóp có đáy là tam giác.  CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ VỚI ĐỀ MINH HỌA DẠNG CÂU HỎI NHẬN BIẾT Câu 1.   Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng   B   , chiều cao bằng   h   là  A.   1 3  V   Bh    .   B.   2 3  V   Bh    .   C.   V   Bh    .   D.   3 V   Bh    .  Câu 2.   Cho khối lập phương có cạnh bằng   6   . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng  A.   216   .   B.   18   .   C.   36   .   D.   72   .  Câu 3.   Thể tích khối lập phương cạnh   2   bằng  THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề 8  b  A  a  S  c  B  C  C     A   B NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ A.   6   .   B.   8   .   C.   4   .   D.   2   .  Câu 4.   Cho khối chóp có diện tích đáy   3 B      và chiều cao   4 h      . Thể tích của khối chóp đã cho bằng  A.   6   .   B.   12   .   C.   36   .   D.   4   .  Câu 5.   Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng   2 2 a   , chiều cao bằng   3 a   là  A.  3 2   3 9  a V      .   B.  3 2   3 3  a V      .   C.   3 2   3 V   a    .   D.  3   3 3  a V      .  Câu 6.   Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng   2  a   , chiều cao bằng   2 a   là  A.   3 6 V   a    .   B.  3 3  a  V      .   C.   3 2 V   a    .   D.  3 2 3  a  V      .  Câu 7.   Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng   2 3 a   , chiều cao bằng   a   là  A.   3 3 V   a    .   B.  3 3  a  V      .   C.   3  V   a    .   D.  3 2 3  a  V      .  Câu 8.   Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là   3, 4,5   bằng  A.   120 V      .   B.   20 V      .   C.   30 V      .   D.   60 V      .  Câu 9.   Cho khối chóp có diện tích đáy   6 B      và chiều cao   3 h      . Thể tích của khối chóp đã cho bằng  A.   6   .   B.   18   .   C.   9   .   D.   36   .  Câu 10.   Thể tích khối lập phương cạnh   5   bằng  A.   15   .   B.   25   .   C.   125   .   D.   75   .  Câu 11.   Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng   6 3   . Thể tích của khối lập phương đó bằng  A.   81 3   .   B.   216   .   C.   24   3   .   D.   162   6   .  Câu 12.   Thể tích khối lập phương   . ABCD A B C D          có   3 AC   a    bằng  A.   3  a   .   B.   2  a   .   C.   2 a   .   D.   3 a   .  Câu 13.   Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng   294   . Thể tích của khối lập phương đó bằng  A.   147   147 2   2   .   B.   49   .   C.   343   .   D.   147 2   .  Câu 14.   Thể tích khối lập phương   . ABCD A B C D          có   6 AC   a    bằng  A.   3 8 a   .   B.   3 6   6 a   .   C.   3 2   2 a   .   D.   3 3   3 a   .  Câu 15.   Khối chóp   . S ABC   có thể tích   2   2 3  V      và diện tích đáy   3 B      . Chiều cao của khối chóp . S ABC   bằng  A.   2   6 9   .   B.   2   6 3   .   C.   2   2 3   .   D.   2   6 27   .  Câu 16.   Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước là   3;5;7   . Thể tích của khối hộp đó bằng  A.   35   .   B.   105 2   .   C.   105   .   D.   15   .  Câu 17.   Thể tích khối lập phương   . ABCD A B C D       có   2 AB    bằng  A.   2   2   .   B.   2   .   C.   1 .   D.   3   .  Câu 18.   Cho khối chóp   . S ABCD   có thể tích bằng   3  a   , đáy   ABCD   là hình vuông. Biết chiều cao của khối chóp là   3 h   a    . Cạnh hình vuông   ABCD   bằng  A.   a   .   B.   3  a   .   C.   2 a   .   D.   3 a   .  Câu 19.   Cho khối lập phương   .          ABCD A B C D   biết   6   2  AC   . Thể tích của khối lập phương đó bằng

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Thể tích khối đa diện

ST&BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A        - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Th   TH    H   I. KI  N TH  C C  N NH  : 1. Th    tích kh  n - Th    tích kh  i chóp :   1   . 3   d V   S   h   - Th    tích kh    :   . d V   S   h    . - Th    tích kh  i l    :   3  V   a    , th    tích kh  i h  p ch    nh  t :   . . V   a b c    . 2. Th    tích kh  c phân chia : +) Kh  i chóp tam giác :   . .  S ABC S A B C  V   SA SB SC V   SA SB SC                    +) Kh  i chóp t    giác có đáy là h   .   '   '   '   ' .  1   1   1   1   '   '   '   '  ,   ,   ,   , 4  S A B C D S ABCD  V   abcd   SA   SB   SC   SD a   b   c   d V   a   b   c   d   SA   SB   SC   SD                                     1   1   1   1  a   c   b   d          C' B' A' C B A SST&BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A        - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com   Trang 2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Th   +) Th    tích kh    tam giác :   . ,  1 . 3  ABC MNP ABC A B C  V   AM   BN   CP V   AA   BB   CC                                     +) Kh  i h  p :   . ,  1   1 . 4   2  ABCD MNPQ ABCD A B C D  V   AM   BN   CP   DQ   AM   CP V   AA   BB   CC   DD   AA   CC                                                                            AM   CP   BN   DQ  AA   CC   BB   DD                    D' D C' B' A' C B A S  P N M C'   B' A' C   B A

Thể tích khối đa diện phức hợp (VDC) – Đặng Việt Đông

CHUYÊN ĐỀ:  KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU  Tác giả: Trần Mạnh Tường  Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020  B.   KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU  I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  1. Định nghĩa  Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung  của hai đường thẳng đó  ,  ,  a   b  a   A   b   B                          , d   a b   AB      2. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Có 3 phương pháp  thường dùng  a. Phương pháp 1: Dùng định nghĩa  - Xác định đoạn vuông góc chung AB của hai đường thẳng chéo nhau  - Tính độ dài đoạn AB.  b. Phương pháp 2:  - Chọn hoặc dựng 1 mặt phẳng (P) chứa 1 đường và song song với    - Khi đó                           ,   ;   ; d   a b   d a   P   d   M   P       với   M   là điểm tùy ý trên     a  c. Phương pháp 3:  - Chọn hoặc dựng 2 mặt phẳng lần lượt chứa 1 đường thẳng và song  song với đường thẳng còn lại.  - Khi đó                                        ,   ;   ;   ; d   a b   d   P   Q   d   H   P   d   K   Q          với            , H   Q   K   P      d. Sử dụng phương pháp vectơ (ít dùng)  b  a  B  A  b  a'  a  P  H  M  b  a'  a  Q  P  b'  H  KII. BÀI TẬP VẬN DỤNG:  1.   VÍ DỤ MINH HỌA:  Câu 1: (nhiều cách giải)   Cho hình lập phương   . ABCD A B C D             cạnh   a   . Tính khoảng cách giữa hai     ' AD   và   BD   .  Lời giải  Cách 1.   Dựng đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung.  Do        // BD   B D  AD   AB D                       nên       AB D       là mặt phẳng chứa  AD    và song song với   BD   .  Gọi   O   là tâm của hình vuông   ABCD   .  Ta dựng hình chiếu của điểm   O   trên       AB D       .  Do   B D   A C  B D   CC                                 B D   CC A              B D   A C               1  Tương tự   (2) A C   AD         .  Từ   (1), (2)   suy ra       A C   AE D            . Gọi       G   A C   AB D               .  Do   AB D            A A   A E   A D                     nên   G   là trọng tâm của tam giác   AB D       .  Vậy Gọi   I   là tâm của hình vuông   A B C D             thì   AI   là trung tuyến của tam giác   AB D       nên  ,   . A G I   thẳng hàng.  Trong       ACCA    dựng   // OH   CA    cắt   AI   tại   H   thì   H   là hình chiếu của   O   BD    trên       AB D       .  Từ   H   dựng đường thẳng song song với   BD   cắt   AD    tại   M   , từ   M   dựng đường thẳng song  song với   OH   cắt   BD   tại   N   thì   MN   là đoạn vuông góc chung của   AD    và   BD   do đó      , d   AD   BD   MN       .  Dễ thấy   MNOH   là hình chữ nhật nên   MN   OH    . Do   OH   là đường trung bình trong tam  giác   1  2  ACG   OH   CG       .  Mặt khác   2   2   2   3  2   2   3  3   3   3  GC   AC   a  CG   GA   CG   CA   a  GA   A I                                    .  1   2   3   3  2   3   3  a   a  OH             .   Vậy         3  ,   3  a  d   AD   BD   MN   OH             .  N  M  H  G  I  O  B'  B  A  C'  D   C  D'  A'

Chuyên đề khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Trần Mạnh Tường

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Facebook Nguyễn Vương      https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM  1. Hình đa diện   là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:     Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có  chỉ có một cạnh chung.     Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của  Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của hình đa diện.  2.   Khái niệm về khối đa diện :   Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.  3. Khối đa diện lồi : Khối đa diện   (   ) H    hai điểm bất kì của   (   ) H   luôn luôn thuộc   (   ). H  4. Khối đa diện đều   là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:     Mỗi mặt của nó là một đa giác đều   p   cạnh.     Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng   q   mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại   { ; }. p q   : Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại   {3;3},   {4;3},   {3;4},   {5; 3}   và  {3;5}.  Tứ diện đều   Lập phương   Bát diện đều   12   mặt đều   20   mặt      a      Cạnh   Mặt   Thể tích   V   BK mặt cầu ngoại tiếp  Tứ diện đều   {3;3}   4   6   4  3 2 12  a V      6 4  a R     Lập phương   {4;3}   8   12   6   3  V   a    3 2  a R     Bát diện đều   {3; 4}   6   12   8  3 2 3  a V      2 2  a R     Mười hai mặt đều  {5; 3}  20   30   12   3 15   7   5 4  V   a      3   15 4  R   a     Hai mươi mặt đều  {3;5}  12   30   20   3 15   5   5 12  V   a      10   20 4  R   a     NHẬN DIỆN KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề 9  Cạnh Mặt NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 5. Phép đối xứng qua mặt phẳng          Phép đối xứng qua mặt phẳng   (   ) P   là phép biến hình, biến mỗi điểm thuộc   (   ) P   thành chính nó và biến mỗi điểm   M   không thuộc   (   ) P   thành điểm   M      sao cho   (   ) P   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng   . MM        Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng   (   ) P   biến hình      thành chính nó thì   (   ) P       .      Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp     Hình hộp chữ nhật có 3 kích thức khác nhau : có   3   mặt phẳng đối xứng.     Hình lăng trụ tam giác đều : có   4   mặt phẳng đối xứng.     Hình chóp tam giác đều   (cạnh bên và cạnh đáy không bằng): có   3   mặt phẳng đối xứng.     Tứ diện đều : có   6   mặt phẳng đối xứng.

Chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Tương lai khóc hay cư  i là ph    thu  c vào đ    lư  i c  a ngày hôm nay”!   09411.02468     0987.154.555  Trang   1   |  bs & st:   Thông Đình Đình   TH    TÍCH KH  I ĐA DI  N   T    DI  N Đ  C BI  T h h  H  A   D  B  C  S h  H  C'  B'  D'  A'  E   D  A  B  C  E' V   .   .h =   1 3 V   .h = S.ABC SA   a; SB   b; SC   c =   =   = V   .a.b.c =   1 6 V   .   x.y.z =   2 12 S.ABC SA   BC   a; SB   AC   b; SC   AB   c =   =   =   =   =   = x   a   b   c ; y   a   c   b ; z   b   c   a =   +      =   +      =   +    2   2   2   2   2   2   2   2   2 c  b  a  B  C  S  A c  b  a  B  C A  S

Chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện – Bùi Đình Thông

CHUYÊN ĐỀ:  GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG  Tác giả: Trần Mạnh Tường  Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020  I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  1. Định nghĩa:   Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì, lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.  Trong hình vẽ trên, ta có thể thấy                    ;   ; P   Q   n p   2. Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng:  Có 3 phương pháp sau đây hay được sử dụng để tính giá trị góc giữa hai mặt phẳng. -   Phương pháp 1:   Dùng định nghĩa.  Kinh nghiệm:   Muốn sử dụng được phương pháp này thì ta phải quan sát, phán đoán xem với  vuông góc với 2 mặt phẳng mà bài toán yêu cầu tính góc giữa chúng hay không? -   Phương pháp 2:   Xác định góc.  dùng các hệ thức lượng để tính giá trị của góc này.  Kinh nghiệm:   Cách này thường dùng khi 2 mặt phẳng có thể xác định được giao tuyến và có các yếu tố vuông góc. Có 2 loại phương pháp khi sử dụng phương pháp này.  - ) Phương pháp xác định góc loại 1: Bước 1:   Tìm giao tuyến      của hai mặt phẳng  Bước 2:   Chọn 1 điểm   I   thích hợp   trên      , từ   I   ta dựng 2 đường thẳng, đường thẳng   a   nằm trên mặt phẳng       P  và vuông góc với      , đường thẳng   b   nằm trên mặt phẳng      Q   và vuông góc với      .  Khi đó                    ;   ; P   Q   a b   b a (Δ) (P) (Q)  I- ) Phương pháp xác định góc loại 2: Bước 1:   Tìm giao tuyến      của hai mặt phẳng  Bước 2:   Chọn 1 điểm   M   thích hợp nằm trên 1 trong 2 mặt phẳng, từ điểm   M   dựng hình chiếu vuông góc   H    phẳng còn lại.  Bước 3:   Dựng hình chiếu vuông góc   I   của điểm   M   hoặc    H         .  Khi đó                 ; P   Q   MIH   -   Phương pháp 3:   Dùng khoảng cách.  Cho hai mặt phẳng             P   Q   d       . Từ       A   P    , dựng       ; AK   d   AH   Q       . Khi đó       d   AKH    nên                 ; P   Q   AKH         . Khi đó   sin   AH AK     , hay                ; sin   ;  d   A   Q d   A d    Bình luận:   Phương pháp này có ưu điểm là ta không cần xác định rõ hình hài của góc giữa hai mặt phẳng, chỉ cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và điểm đến đường thẳng, các khoảng cách này lại cũng có thể tính thông qua tỉ số giữa diện tích tam giác với một cạnh hoặc tỉ số giữa thể tích một đa diện với diện tích của 1 mặt.  II. VÍ   DỤ   MINH   HỌA Câu 1:   (Phương pháp xác định góc loại 1)   Cho hình lăng trụ   .   '   '   ' ABC A B C   có đáy là tam giác đều cạnh   . a   '   '   '   2 . A A   A B   A C   a          Gọi   , M N   lần lượt là trung điểm của   ',   '. BB   CC   Xác định cosin của góc giữa       ' A BC   và       '   . A MN  A.   3 15   .   B.   8   3 . 15   C.   8   3 15     .   D.   4   3 15  Lời giải Chọn B Phân tích:   Rõ ràng hai mặt phẳng       ' A BC   và       ' A MN   có điểm chung là   ' A   và có   , BC MN   là 2 đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng có thể xác định dễ dàng. Từ đó ta đi theo ý tưởng sử dụng phương pháp “ xác định góc”. Lại do các tam giác như   '   ,   '   ,   '   '   ' A BC A MN A B C   là các tam giác cân nên từ   ' A   ta có thể thấy xuất hiện nhiều đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến. Từ đó ta có thể lựa chọn “ Phương pháp xác định góc loại 1”  Gọi   K   là trung điểm của   . BC   Do tam giác   ABC      A BC    cân tại   A    nên  (Δ) (P) (Q)  M  I   H  P  Q d    A  H  K

Chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng – Trần Mạnh Tường

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Trong chương trình toán THPT, các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng tuy không mới. Song, nó vẫn mang tính thời sự trong các bài kiểm tra định kì, các kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm. Bài viết sau đây khai thác một hướng tiếp cận khác   cho bài toán tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng  1. Kiến thức cơ bản  1.1. Định nghĩa  Cho đường thẳng   a   và mặt phẳng           . Góc giữa đường thẳng   a   và hình chiếu   a    của nó trên mặt phẳng              a   và mặt phẳng          .  1.2. Các xác định góc giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng             Cách 1:  Bước 1 .   Tìm       O   a         .  Bước 2 .   Lấy   A   a    và dựng       AH      tại   H   . Khi đó                    ,   , a   a   a   AOH            .  Bước 3.   Tính số đo của góc    AOH     Chú ý:           0   ,   90 a              Cách 2:   Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau:  Hướng 1:   Chọn một đường thẳng   // d   a   mà góc giữa   d   và           có thể tính được. Từ đó ta có:                       ,   , a   d      Hướng 2:   Chọn một mặt phẳng             //        mà góc giữa   a   và           có thể tính được. Từ đó ta có:                       ,   , a   a      Trao      kinh   nghiệm   dạy   học   theo    hướng   tiếp   cận   năng   lực   người   học  Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa   Ths. HOÀNG MINH QUÂN  GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội   a a'   H O A  NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc      là sử dụng khoảng cách để tính góc giữa    nhằm khắc phục khó khăn đó.  1.3. Định hướng tiếp cận  Cho đường thẳng   a   và mặt phẳng           . Để tính góc     giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng          , ta tiếp cận thông qua ý tưởng đơn giản khác như sau :  Bước 1:   Tìm       O   a         .  Bước 2:   Tính           , sin   d   A OA         Cách tiếp cận này thích hợp cho học sinh nắm chắc việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh hoạ với lời giải theo hướng tiếp cận sử dụng  khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng  2.   Ví dụ minh họa  2.1. Áp dụng cho các bài toán khối chóp.  Câu 1:   Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình chữ nhật,       SA   ABCD    . Gọi   G   là trọng tâm tam giác   ACD   ,   I   là trung điểm của   SB   . Biết độ dài các đoạn   SA   a    ,   3 AB   a    ,  3  2  a  AD      . Góc giữa đường thẳng   IG   và mặt phẳng       SCD   bằng  A.   3  arcsin   .  4 13   B.   3  arcsin   .  13   C.   3  arcsin   .  16   D.   3  arcsin   .  16 Lời giải Chọn A  Có   2 SB   a    nên tam giác   SAI      a   . Gọi   H   là trung điểm của   SI   thì   BI   BG  BH   BD     nên   // IG   HD   , hay                     ,   , IG   SCD   HD   SCD   Có   3  2  a  AH      ,   3  2  a  AD      và tam giác   AHD   vuông tại   A   , suy ra   3 HD   a   Vì   1 4  HS   BS    nên                               1   1   1  ,   ,   , 4   4   4  d   H   SCD   d   B   SCD   d   A   SCD   d         H  G I C A   D B S    a  a'   H O  A  

Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Trong bài toán thuộc chủ đề khoảng cách thì ta thấy thường xuất hiện bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Do đó, mình viết chuyên đề này để giúp các thầy cô và các em học sinh có một hướng tiếp cận khi giải quyết bài toán này.  I. Kiến thức cơ bản cần nhớ: 1) Định nghĩa:   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó  2) Nhận xét:  a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai  b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.  3) Định hướng:   trong hai hướng sau:  - Hướng 1: Sử dụng định nghĩa. - Hướng 2: Sử dụng nhận xét trên.  4) Các kiến thức bổ trợ:  Chúng ta cần lưu ý một số định lý, tính chất và công thức sau:  - Đường thẳng song song với mp:  Nếu đường thẳng   d   không nằm trong mặt phẳng           và   d   song song với đường thẳng  d    nằm trong           thì   d   song song với mặt phẳng           .  Trao      kinh   nghiệm   dạy   học   theo    hướng   tiếp   cận   năng   lực   người   học  Phương   pháp   tính   khoảng   cách   giữa   hai      thẳng   chéo   nhau  nhờ   kĩ   thuật   dựng   song   song giữa đường thẳng và mặt phẳng  HOÀNG XUÂN BÍNH  GV Trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà NamNHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  - Cách dựng mp mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a ( với a và b là hai đường thẳng chéo nhau):  + Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. + Cách dựng: Lấy điểm   M   bất kì thuộc   a   . Qua   M   kẻ đường thẳng   b   b      . Gọi           là mặt phẳng xác định bởi   a   và   b    . Khi đó                   ,   , b   b b   b   b                      .  - K/c đường thẳng và mp song song:   Cho đường thẳng   a   song song với mặt phẳng           . Khoảng cách giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng           là khoảng cách từ một điểm bất kì của   a             , kí hiệu là           ; d   a     .  + Nhận xét:   nếu       AB       thì                     ;   ; d   A   d   B      - Công thức tỉ số khoảng cách:  Nếu                          ;   . ;  d   A   AI AB   I   BI d   B                 - Chú ý:   Cho tam diện vuông đỉnh   O   có   ,   , OA OB OC    Giả sử:           ; h   d O   ABC    và   ,   , OA   a OB   b OC   c          thì ta luôn có   2   2   2   2 1   1   1   1  h   a   b   c        

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhờ kĩ thuật dựng song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

Từ các đề thi thử trường chuyên 2021MỤC LỤC MỤC LỤC  Chương 1.   KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN   1   1      KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN   1  A A   KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1  B B   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  |   Dạng 1.1: Nhận biết hình đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  |   Dạng 1.2: Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 1.3: Phân chia, lắp ghép khối đa diện   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3   2      KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU   5  A A   KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5  B B   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  |   Dạng 2.4: Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  |   Dạng 2.5: Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10   3      THỂ TÍCH KHỐI CHÓP   12  A A   LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12  B B   MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15  |   Dạng 3.6: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15  |   Dạng 3.7: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   53  |   Dạng 3.8: Khối chóp có hai mặt phẳng chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy   . . . . . . . . . . . . .   54  |   Dạng 3.9: Khối chóp đều   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   66  |   Dạng 3.10: Khối chóp biết hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   84  C C   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   86